Prouver l'équivalence entre les conditions suivantesLa suite (x n) n2N est de suite ((X n)) n2N converge vers(où (A) désigne le diamètre de la partie AˆX). Que peut-on dire de l’ensemble de Cantor? Montrer qu’il existe un ouvert non vide O sur lequel f Soit (X;d) un espace métrique. Montrer que fposs ede un unique point xeCompl et e d’un espace m etrique. Corrigé Espaces complets Th´eor`eme de Baire ExerciceA l’aide du th´eor`eme de Baire, montrer qu’un ferm´e d´enombrable non vide` X de R a au moins un point isol´e. Soit (X;d) un espace m etrique. TDEspaces complets ExerciceSoient (X;d) un espace métrique et (x n) n2N une suite d'éléments de X. Pour tout k2N, on dé nit X k = fx n jn kg. Corrigé: Soit (U i) i2Iun recouvrement de Apar une famille quelconque d’ouverts Aˆ [i2I U i: On veut montrer qu’on peut en extraire un sous-recouvrement fini L'exemple le plus important d'espace métrique est R muni de la distance d(x;y) = jx yj; plus Soit $(X,d)$ un espace métrique complet. Montrer que l'intersection d'une suite décroissante $(F_n)$ de parties fermées non vides et bornées de $(X,d)$ dont le diamètre tend versa une intersection non vide TDEspaces complets ExerciceSoient (X;d) un espace métrique et (x n) n2N une suite d'éléments de X. Pour tout k2N, on dé nit X k = fx n jn kg. ExerciceSoit f une application d´efinie sur un espace m´etrique complet (X,d Soit fune application continue d’un espace m etrique complet dans lui-m^eme telle que fpsoit contractante pour un certain p. Montrer que, pour tout x;y;zX, on a jd(x;z) d(y;z)j d(x;y). Prouver l'équivalence entre les Feuille d’exercices no6 Espaces m etriques complets, convergence, suitesLa compl etude est une propri et e m etrique Donner deux distances det d0sur un m^eme ensemble X, qui d e Espaces complets Th´eor`eme de Baire ExerciceA l’aide du th´eor`eme de Baire, montrer qu’un ferm´e d´enombrable non vide` X de R a au moins un point isol´e. Montrer que l’ensemble A= fx n;n 0g[flgest compact. Indication: on pourra consid´erer ω x = X \{x}. On dit qu’un espace m etrique complet (Y;) est un compl et e de (X;d) si il ExerciceSoit (X;d) un espace métrique et (x n) nune suite d’éléments de Xqui converge vers une limite l. Indication: on pourra ExerciceSoit f une application définie sur un espace métrique complet (X,d), à valeurs réelles et semi-continue inférieurement.
Prouver l'équivalence entre les conditions suivantesLa suite (x n) n2N est de suite ((X n)) n2N converge vers(où (A) désigne le diamètre de la partie AˆX). Que peut-on dire de l’ensemble de Cantor? Montrer qu’il existe un ouvert non vide O sur lequel f Soit (X;d) un espace métrique. Montrer que fposs ede un unique point xeCompl et e d’un espace m etrique. Corrigé Espaces complets Th´eor`eme de Baire ExerciceA l’aide du th´eor`eme de Baire, montrer qu’un ferm´e d´enombrable non vide` X de R a au moins un point isol´e. Soit (X;d) un espace m etrique. TDEspaces complets ExerciceSoient (X;d) un espace métrique et (x n) n2N une suite d'éléments de X. Pour tout k2N, on dé nit X k = fx n jn kg. Corrigé: Soit (U i) i2Iun recouvrement de Apar une famille quelconque d’ouverts Aˆ [i2I U i: On veut montrer qu’on peut en extraire un sous-recouvrement fini L'exemple le plus important d'espace métrique est R muni de la distance d(x;y) = jx yj; plus Soit $(X,d)$ un espace métrique complet. Montrer que l'intersection d'une suite décroissante $(F_n)$ de parties fermées non vides et bornées de $(X,d)$ dont le diamètre tend versa une intersection non vide TDEspaces complets ExerciceSoient (X;d) un espace métrique et (x n) n2N une suite d'éléments de X. Pour tout k2N, on dé nit X k = fx n jn kg. ExerciceSoit f une application d´efinie sur un espace m´etrique complet (X,d Soit fune application continue d’un espace m etrique complet dans lui-m^eme telle que fpsoit contractante pour un certain p. Montrer que, pour tout x;y;zX, on a jd(x;z) d(y;z)j d(x;y). Prouver l'équivalence entre les Feuille d’exercices no6 Espaces m etriques complets, convergence, suitesLa compl etude est une propri et e m etrique Donner deux distances det d0sur un m^eme ensemble X, qui d e Espaces complets Th´eor`eme de Baire ExerciceA l’aide du th´eor`eme de Baire, montrer qu’un ferm´e d´enombrable non vide` X de R a au moins un point isol´e. Montrer que l’ensemble A= fx n;n 0g[flgest compact. Indication: on pourra consid´erer ω x = X \{x}. On dit qu’un espace m etrique complet (Y;) est un compl et e de (X;d) si il ExerciceSoit (X;d) un espace métrique et (x n) nune suite d’éléments de Xqui converge vers une limite l. Indication: on pourra ExerciceSoit f une application définie sur un espace métrique complet (X,d), à valeurs réelles et semi-continue inférieurement.
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